详解如何利用Python绘制科赫曲线

1. 递归

1.1 定义

函数作为一种代码封装， 可以被其他程序调用，当然，也可以被函数内部代码调用。这种函数定义中调用函数自身的方式称为递归。就像一个人站在装满镜子的房间中，看到的影像就是递归的结果。递归在数学和计算机应用上非常强大，能够非常简洁地解决重要问题。

数学上有个经典的递归例子叫阶乘，阶乘通常定义如下:

n!= n(n- 1)(n- 2)…(1)

为了实现这个程序，可以通过一个简单的循环累积去计算阶乘。观察 5! 的计算，如果去掉了 5，那么就剩下计算 4!，推广来看，n!=n(n-1)!。 实际上，这个关系给出了另一种表达阶乘的方式：

当 n = 0 时，n! = 1；否则，n! = n(n - 1)!

这个定义说明 0 的阶乘按定义是 1，其他数字的阶乘定义为这个数字乘以比这个数字小 1 数的阶乘。递归不是循环，因为每次递归都会计算比它更小数的阶乘，直到 0!。0! 是已知的值，被称为递归的基例。当递归到底了，就需要一个能直接算出值的表达式。

阶乘的例子揭示了递归的两个关键特征：

(1) 存在一个或多个基例，基例不需要再次递归，它是确定的表达式。

(2) 所有递归链要以一个或多个基例结尾。

1.2 数学归纳法

数学归纳法和递归都利用了递推原理，本质是相同的。在证明一个与自然数相关的命题 P(n) 时，数学归纳法采用如下步骤。

(1) 证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立。

(2) 假设当 nk ( k ≥ 0, k 为自然数 ) 时命题成立，证明当 n=nk+1 时命题也成立。

综合 (1) 和 (2)，对一切自然数 n( n ≥ n0)，命题 P(n) 都成立。

2. 递归的使用方法

2.1 阶乘

以阶乘计算为例，可以把阶乘写成一个单独的函数，则该函数如下所示：

def fact(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return n * fact(n - 1)

num = eval(input("请输入一个整数："))
print(fact(abs(int(num))))

fact() 函数在其定义内部引用了自身，形成了递归过程(如第 5 行)。无限制的递归将耗尽计算资源，因此，需要设计基例使得递归逐层返回。fact() 函数通过 if 语句给出了 n 为 0 时的基例，当 n==0，fact() 函数不再递归， 返回数值 1，如果 n!=0，则通过递归返回 n 与 n-1 阶乘的乘积。

由于负数和小数通过减 1 无法到达递归的基例 (n==0)， 代码第 8 行通过 abs() 和 int() 函数将用户输入转变成非负整数，该程序输出效果如下:

请输入一个整数：5

120

请输入一个整数：6.789

720

递归遵循函数的语义，每次调用都会引起新函数的开始，表示它有本地变量值的副本，包括函数的参数。每次函数调用时，函数参数的副本会临时存储，递归中各函数再运算自己的参数，相互没有影响。当基例结束运算并返回值时，各函数逐层结束运算，向调用者返回计算结果。

使用递归一定要注意基例的构建，否则递归无法返回将会报错。

2.2 字符串反转

对于用户输入的字符串 s，输出反转后的字符串。

解决这个问题的基本思想是把字符串看作一个递归对象。长字符串由较短字符串组成，每个小字符串也是一个对象。假如把一个字符串看成仅由两部分组成：首字符和剩余字符串。如果将剩余字符串与首字符交换，就完成了反转整个字符串，代码如下：

def reverse(s):
    return reverse((s[1:]) + s[0])

观察这个函数的工作过程。s[0] 是首字符，s[1:] 是剩余字符串，将它们反向连接，可以得到反转字符串。执行这个程序，结果如下:

def reverse(s):
    return reverse(s[1:]) + s[0]
reverse("abc")

return reverse(s[1:]) + s[0]
[Previous line repeated 996 more times]
RecursionError: maximum recursion depth exceeded

这个错误表明系统无法执行 reverse() 函数创建的递归，这是因为 reverse() 函数没有基例，递归层数超过了系统允许的最大递归深度。默认情况下，当递归调用到 1000 层，Python 解释器将终止程序。递归深度是为了防止无限递归错误而设计的，当用户编写的正确递归程序需要超过 1000 层时，可以通过如下代码设定：

import sys
sys.setrecursionlimit(2000)    # 2000 是新的递归层数

reverse() 超过递归深度是因为没有设计基例。字符串反转中的递归调用总是使用比之前更短的字符串，因此，可以把基例设计为字符串的最短形式，即空字符串。

完整代码如下：

def reverse(s):
    if s == "":
        return s
    else:
        return reverse(s[1:]) + s[0]

str = input("请输入一个字符串：")
print(reverse(str))

程序执行结果如下：

请输入一个字符串：Python程序设计
计设序程nohtyP

3. 科赫曲线的绘制

3.1 概要

这是一个采用递归方法绘制科赫曲线的实例，分形几何采用类似递归的核心思想。

自然界有很多图形很规则，符合一定的数学规律， 例如，蜜蜂的蜂窝是天然的等边六角形等。科赫曲线在众多经典数学曲线中非常著名，由瑞典数学家冯。科赫( H-V-Koch )于 1904 年提出，由于其形状类似雪花，也被称为雪花曲线。

科赫曲线的基本概念和绘制方法如下：

正整数 n 代表科赫曲线的阶数，表示生成科赫曲线过程的操作次数。科赫曲线初始化阶数为 0，表示一个长度为 L 的直线。对于直线 L，将其等分为 3 段，中间一段用边长为 L/3 的等边三角形的两个边替代，得到 1 阶科赫曲线，它包含 4 条线段。进一步对每条线段重复同样的操作后得到 2 阶科赫曲线。继续重复同样的操作 n 次可以得到 n 阶科赫曲线，如下图所示：

3.2 绘制科赫曲线

科赫曲线属于分形几何分支，它的绘制过程体现了递归思想，绘制过程代码如下：

import turtle
def koch(size, n):
    if n == 0:
        turtle.fd(size)
    else:
        for angle in [0, 60, -120, 60]:
            turtle.left(angle)
            koch(size / 3, n - 1)
def main():
    turtle.setup(800, 400)
    turtle.speed(0)  # 控制绘制速度
    turtle.penup()
    turtle.goto(-300, -50)
    turtle.pendown()
    turtle.pensize(2)
    koch(600, 6)  # 0阶科赫曲线长度，阶数
    turtle.hideturtle()

main()

程序执行结果如下：

n 阶科赫曲线的绘制相当于在画笔前进方向的 0°、60°、-120° 和 60° 分别绘制 n-1 阶曲线。上述代码中 main() 函数设置了一些初始参数，如果希望控制绘制科赫曲线的速度，可以采用 turtle.speed() 函数增加或减少速度。

3.3 科赫曲线的雪花效果

科赫曲线从一条直线绘制开始，如果从倒置的三角形开始将更有趣。替换前面代码中的 main() 函数，代码如下：

import turtle

def koch(size, n):
    if n == 0:
        turtle.fd(size)
    else:
        for angle in [0, 60, -120, 60]:
            turtle.left(angle)
            koch(size / 3, n - 1)

def main():
    turtle.setup(600, 600)
    turtle.speed(1000)
    turtle.penup()
    turtle.goto(-200, 100)
    turtle.pendown()
    turtle.pensize(2)
    level = 5
    koch(400, level)
    turtle.right(120)
    koch(400, level)
    turtle.right(120)
    koch(400, level)
    turtle.hideturtle()

main()

程序执行结果如下：

3.4 分形几何

分形几何学是数学的一个分支，以不规则几何形态为研究对象。分形以自相似结构为基础，通过无限递归方式展示复杂表面下的内在数学秩序。分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。

到此这篇关于详解如何利用Python绘制科赫曲线的文章就介绍到这了,更多相关Python科赫曲线内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家！

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