JavaScript代码实现春晚刘谦魔术的模拟程序
什么是约瑟夫环问题?
约瑟夫环(Josephus problem)是一个经典的数学问题,最早由古罗马历史学家弗拉维奥·约瑟夫斯提出,但它的名字是在19世纪由德国数学家约瑟夫·乔瑟夫斯(Josef Stein)命名的。
问题的描述是这样的:假设有n个人(编号从1到n)站成一个圆圈,从第一个人开始报数,报到某个数字(例如k)的人就被杀死,然后从下一个人开始重新报数并继续这个过程,直到只剩下一个人留下来。
问题的关键是找出存活下来的那个人的编号。
结合扑克牌解释约瑟夫环问题
1、考虑最简单的情况
假设有2张牌,编号分别是1和2。
首先将1放到后面,扔掉2。剩下的就是最开始放在最上边的那张1。
2、稍微复杂一点的情况,牌的张数是2的n次方
比如有8张牌,编号分别是1、2、3、4、5、6、7、8。
第一轮会把2、4、6、8扔掉,剩下1、3、5、7按顺序放在后面,又退化成了4张牌的情况。
第二轮会把3、7扔掉,剩下1、5按顺序放在后面,又退化成了2张牌的情况。
第三轮把5扔掉,剩下1,就是最初在最前面的那张。
结论:如果牌的张数是2^n,最后剩下的一定是最开始放在牌堆顶的那张。
3、考虑任意的情况,牌的张数是2^n+m
比如牌的张数是11,等于8+3。把1放到后面,把2扔掉,把3放到后面,把4扔掉,把5放到后面,把6扔掉,现在剩下的编号序列是7、8、9、10、11、1、3、5,这又是8张牌的情况!最后一定剩下的是现在牌堆顶的7!
因此,只要提前知道牌的张数,就一定能马上推导出最终是剩下哪一张牌。一切的魔法都是数学!!都是算法!!
见证奇迹的时刻!魔术的流程
- 4张牌对折后撕开,就是8张,叠放在一起就是ABCDABCD。注意,ABCD四个数字是完全等价的。
- 根据名字字数,把顶上的牌放到下面,但怎么放都不会改变循环序列的相对位置。譬如2次,最后变成CDABCDAB;譬如3次,最后换成DABCDABC。但无论怎么操作,第4张和第8张牌都是一样的。
- 把顶上3张插到中间任意位置。这一步非常重要!因为操作完之后必然出现第1张和第8张牌是一样的!以名字两个字为例,可以写成BxxxxxxB(这里的x是其他和B不同的牌)。
- 拿掉顶上的牌放到一边,记为B。剩下的序列是xxxxxxB,一共7张牌。
- 南方人/北方人/不确定,分别拿顶上的1/2/3张牌插到中间,但是不会改变剩下7张牌是xxxxxxB的结果。
- 男生拿掉1张,女生拿掉2张。也就是男生剩下6张,女生剩下5张。分别是xxxxxB和xxxxB。
- 循环7次,把最顶上的放到最底下,男生和女生分别会是xxxxBx和xxBxx。
- 最后执行约瑟夫环过程!操作到最后只剩下1张。当牌数为6时(男生),剩下的就是第5张牌;当牌数为5时(女生),剩下的就是第3张牌。Bingo!就是第4步拿掉的那张牌!
下面是完整的 JavaScript 代码实现:
// 定义一个函数,用于把牌堆顶n张牌移动到末尾 function moveCardBack(n, arr) { // 循环n次,把队列第一张牌放到队列末尾 for (let i = 0; i < n; i++) { const moveCard = arr.shift(); // 弹出队头元素,即第一张牌 arr.push(moveCard); // 把原队头元素插入到序列末尾 } return arr; } // 定义一个函数,用于把牌堆顶n张牌移动到中间的任意位置 function moveCardMiddleRandom(n, arr) { // 插入在arr中的的位置,随机生成一个idx // 这个位置必须是在n+1到arr.length-1之间 const idx = Math.floor(Math.random() * (arr.length - n - 1)) + n + 1; // 执行插入操作 const newArr = arr.slice(n, idx).concat(arr.slice(0, n)).concat(arr.slice(idx)); return newArr; } // 步骤1:初始化8张牌,假设为"ABCDABCD" let arr = ["A", "B", "C", "D", "A", "B", "C", "D"]; console.log("步骤1:拿出4张牌,对折撕成8张,按顺序叠放。"); console.log("此时序列为:" + arr.join('') + "\n---"); // 步骤2(无关步骤):名字长度随机选取,这里取2到5(其实任意整数都行) const nameLen = Math.floor(Math.random() * 4) + 2; // 把nameLen张牌移动到序列末尾 arr = moveCardBack(nameLen, arr); console.log(`步骤2:随机选取名字长度为${nameLen},把第1张牌放到末尾,操作${nameLen}次。`); console.log(`此时序列为:${arr.join('')}\n---`); // 步骤3(关键步骤):把牌堆顶三张放到中间任意位置 arr = moveCardMiddleRandom(3, arr); console.log(`步骤3:把牌堆顶3张放到中间的随机位置。`); console.log(`此时序列为:${arr.join('')}\n---`); // 步骤4(关键步骤):把最顶上的牌拿走 const restCard = arr.shift(); // 弹出队头元素 console.log(`步骤4:把最顶上的牌拿走,放在一边。`); console.log(`拿走的牌为:${restCard}`); console.log(`此时序列为:${arr.join('')}\n---`); // 步骤5(无关步骤):根据南方人/北方人/不确定,把顶上的1/2/3张牌插入到中间任意位置 // 随机选择1、2、3中的任意一个数字 const moveNum = Math.floor(Math.random() * 3) + 1; arr = moveCardMiddleRandom(moveNum, arr); console.log(`步骤5:我${moveNum === 1 ? '是南方人' : moveNum === 2 ? '是北方人' : '不确定自己是哪里人'},\ 把${moveNum}张牌插入到中间的随机位置。`); console.log(`此时序列为:${arr.join('')}\n---`); // 步骤6(关键步骤):根据性别男或女,移除牌堆顶的1或2张牌 const maleNum = Math.floor(Math.random() * 2) + 1; // 随机选择1或2 for (let i = 0; i < maleNum; i++) { // 循环maleNum次,移除牌堆顶的牌 arr.shift(); } console.log(`步骤6:我是${maleNum === 1 ? '男' : '女'}生,移除牌堆顶的${maleNum}张牌。`); console.log(`此时序列为:${arr.join('')}\n---`); // 步骤7(关键步骤):把顶部的牌移动到末尾,执行7次 arr = moveCardBack(7, arr); console.log(`步骤7:把顶部的牌移动到末尾,执行7次`); console.log(`此时序列为:${arr.join('')}\n---`); // 步骤8(关键步骤):执行约瑟夫环过程。把牌堆顶一张牌放到末尾,再移除一张牌,直到只剩下一张牌。 console.log(`步骤8:把牌堆顶一张牌放到末尾,再移除一张牌,直到只剩下一张牌。`); while (arr.length > 1) { const luck = arr.shift(); // 好运留下来 arr.push(luck); console.log(`好运留下来:${luck}\t\t此时序列为:${arr.join('')}`); const sadness = arr.shift(); // 烦恼都丢掉 console.log(`烦恼都丢掉:${sadness}\t\t此时序列为:${arr.join('')}`); } console.log(`---\n最终结果:剩下的牌为${arr[0]},步骤4中留下来的牌也是${restCard}`);
这段代码实现了昨晚春晚上刘谦的第二个魔术表演的过程,并提供了详细的解释。享受魔术的魅力吧!
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