Golang实现快速求幂的方法详解

今天讲个有趣的算法：如何快速求n^m，其中n和m都是整数。

为方便起见，此处假设m>=0，对于m< 0的情况，求出n^|m|后再取倒数即可。

另外此处暂不考虑结果越界的情况（超过 int64 范围）。

当然不能用编程语言的内置函数，我们只能用加减乘除来实现。

n的m次方的数学含义是：m个n相乘：n*n*n...*n，也就是说最简单的方式是执行 m 次乘法。

直接用乘法实现的问题是性能不高，其时间复杂度是 O(m)，比如 3²⁹要执行29次乘法，而乘法运算是相对比较重的，我们看看能否采用什么方法将时间复杂度降低。

设m = x + y + z（x、y、z 都是整数），我们知道有如下数学等式： n^m= n^x+y+z = n^x∗n^y∗n^z。

也就是说，如果我们已经知道 n^x、n^y、n^z的值，是不是就可以直接用他们相乘得出 n^m的结果？这样的话乘的次数就大大降低了。

于是问题就变成应该将 m 拆成怎样的几个数的和。

因为计算机是玩二进制的，我们尝试着将这些数跟 2 扯上联系（以 2 为底），看看会不会有奇迹发生。

我们看看具体的例子：3²⁹。

我们将29做这样的拆分：29 = 16 + 8 + 4 + 1。

这个拆分有什么特点呢？右边的数都是 2 的 X 次方（2⁴+2³+2²+2⁰）。

我们把上面的拆分带进公式：3²⁹=3¹⁶∗3⁸∗3⁴∗3¹。

那我们能不能知道 3¹⁶、3⁸、3⁴、3¹是什么呢？

我们不用计算就知道3¹是什么——但仅此而已。

不过我们可以用 3¹自乘 4 次的到3⁴；然后再用 3_⁴自乘得到3⁸；再通过3⁸自乘得到3¹⁶。

好像有点感觉了——我们每做一次乘法，就能将结果翻倍（如 3⁴自乘就变成 3⁴∗3⁴=3⁸）。

如此，虽然也要多次乘法，但乘的次数从29次降到9次！

然后我们再回头看看上面的拆分：

29 =16+8+4+1=2⁴+2³+2²+2⁰= 1∗2⁴+1∗2³+1∗2²+0∗2¹+1∗2⁰。

这不就是学校学的二进制转十进制吗（29 的二进制是 11101）？

3²⁹=3¹⁶∗3⁸∗3⁴∗3¹是说：取 29 的二进制表示中所有值是 1 的位，算出它们的指数值并相乘就得到最终的值。

我们用 go 语言实现一下：

// 求 a 的 n 次方
// a、n 是非负整数
func Pow(a,n int64) int64 {
	// 0 的任何次方都是 0
	if a == 0 {
		return 0
	}
	
	// 任何数的 0 次方都是 1
	if n == 0 {
		return 1
	}

	// 1 次方是它自身
	if n == 1 {
		return a
	}

	// 用滚雪球的方式计算幂
	// 雪球初始值是 1
	var result int64 = 1
	// 滚动因子初始化为 a 的 1 次方（a 自身）
	factor := a
	// 循环处理直到 n 变成 0（所有的二进制位都处理完了）
	for n != 0 {
		// 跟 1 做与运算，判断当前要处理的位是不是 1
		// 之所以是直接跟 1 做与运算，因为后面每处理一轮都将 n 右移了一位，保证每次要处理的位都在最低位
		if n & 1 != 0 {
			// 当前位是 1，需要乘进去
			result *= factor
		}
		// 每轮结束时将滚动因子自乘
		// 因为每行进一轮，指数都翻倍，整体结果就是自乘
		// 比如本轮因子是 2**4，下一轮就是 2**8
		// 2**8 = 2**(4+4) = 2**4 * 2**4
		// （** 表示指数）
		factor *= factor
		// n 右移一位，将下一轮要处理的位放在最低位
		n = n >> 1
	}
	
	return result
}

有什么用呢

很多语言内置的 pow 函数都只接受浮点数，浮点数的运算是非常重的，如果我们的程序需要频繁计算整数的幂，就可以采用 quick pow 算法代替语言内置的幂函数以提升性能。

我们对 go 语言内置的 math.Pow 和 quick pow 算法做个性能测试对比一下。

// 测试 3 的 29 次方的性能测试
var benchPowB int64 = 3
var benchPowP int64 = 29

// 上面的 quick pow 算法
func BenchmarkQuickPow(b *testing.B)  {
	for i := 0; i < b.N; i++ {
		algo.Pow(benchPowB, benchPowP)
	}
}

// go 语言 math 包的 Pow 方法，只接受 float64 类型
func BenchmarkInnerPow(b *testing.B)  {
	x := float64(benchPowB)
	y := float64(benchPowP)
	for i := 0; i < b.N; i++ {
		math.Pow(x, y)
	}
}

// 用简单乘法实现（3 自乘 29 次）
func BenchmarkSimpleMulti(b *testing.B) {
	for i := 0; i < b.N; i++ {
		var r int64 = 1
		var j int64 = 0
		for ; j < benchPowP; j++ {
			r *= benchPowB
		}
	}
}

测试结果：

goos: darwin
goarch: amd64
cpu: Intel(R) Core(TM) i7-7700HQ CPU @ 2.80GHz
BenchmarkQuickPow-8           357897716                3.373 ns/op
BenchmarkInnerPow-8           39162492                29.30 ns/op
BenchmarkSimpleMulti-8          121066731                9.549 ns/op
PASS
ok      command-line-arguments  4.894s

从性能测试结果看，quick pow 算法比简单乘法快了好几倍，比 math.pow 快了近 10 倍。

所以，如果程序只需要求整数幂，而且能确保计算结果不会越界时，可以考虑使用 quick pow 算法代替语言内置的浮点函数。

到此这篇关于Golang实现快速求幂的方法详解的文章就介绍到这了,更多相关Golang快速求幂内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家！

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