python实现fenwick tree芬威克树算法案例

fenwick tree芬威克树算法介绍

Fenwick Tree，也被称为Binary Indexed Tree（二叉索引树）或树状数组，是由Peter M. Fenwick在1994年以“A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables”为题首次介绍的一种数据结构。

Fenwick Tree主要用于高效地计算数字序列（数组）的前缀和，同时支持对数时间复杂度的元素更新操作。

基本概念

• Fenwick Tree通过维护一个数组来记录原数组在不同区间的和，以便在O(log n)的时间复杂度内回答前缀和查询和单点更新的问题。
• 与传统的前缀和数组相比，Fenwick Tree在处理频繁的元素更新时更加高效，因为它不需要重新构建整个前缀和数组。

原理

• Fenwick Tree利用整数的二进制表示特性，将每个元素与多个区间相关联，并将这些区间的和存储在Fenwick Tree的数组中。
• 每个索引i在Fenwick Tree中对应的节点存储的是从i - lowbit(i) + 1到i（包含）的区间内所有元素的和，其中lowbit(i)是i在二进制表示下最低位的1所对应的值。

主要操作

• 单点更新：当需要更新原数组中的某个元素时，Fenwick Tree通过修改该元素在Fenwick Tree中对应节点及其所有祖先节点的值来反映这一变化，这一过程的时间复杂度为O(log n)。
• 前缀和查询：对于给定的索引x，Fenwick Tree通过累加从x到根节点路径上所有节点的值来计算从数组开头到索引x（包含）的元素和，这一过程的时间复杂度同样为O(log n)。

实现

Fenwick Tree的实现通常包括以下几个部分：

• 初始化：创建一个与原始数组等长的Fenwick Tree数组，并将所有元素初始化为0。
• 单点更新：通过不断累加index + lowbit(index)的方式，更新Fenwick Tree中对应节点的值。
• 前缀和查询：通过不断减去index - lowbit(index)的方式，累加Fenwick Tree中对应节点的值，直到index为0。

示例

• 假设有一个数组a = [1, 2, 3, 4, 5]，我们可以构建一个Fenwick Tree来高效地计算前缀和。
• 例如，要计算前缀和a[0] + a[1] + a[2]，我们只需要在Fenwick Tree中进行几次简单的查找和累加操作即可。

注意事项

• Fenwick Tree只能高效地处理前缀和查询和单点更新操作，对于其他类型的区间查询和更新操作可能不适用。
• 在实现Fenwick Tree时，需要注意数组索引的偏移（通常从1开始而不是从0开始），以简化操作并避免越界问题。

fenwick tree芬威克树算法python实现样例

Fenwick Tree（也称为Binary Indexed Tree）是一种用于高效计算前缀和（Prefix Sum）的数据结构，可以在O(log n)时间内进行插入、查询和更新操作。

下面是一个实现Fenwick Tree算法的Python代码示例：

class FenwickTree:
    def __init__(self, n):
        self.size = n
        self.tree = [0] * (n + 1)

    # 更新操作：将索引i位置的元素增加delta
    def update(self, i, delta):
        while i <= self.size:
            self.tree[i] += delta
            i += i & -i

    # 查询操作：计算前i个元素的和
    def query(self, i):
        res = 0
        while i > 0:
            res += self.tree[i]
            i -= i & -i
        return res

    # 计算区间[i, j]的和
    def range_query(self, i, j):
        return self.query(j) - self.query(i-1)

使用示例：

fenwick_tree = FenwickTree(10)
fenwick_tree.update(1, 2)
fenwick_tree.update(3, -1)
fenwick_tree.update(5, 5)

print(fenwick_tree.range_query(1, 5))  # 输出：6
print(fenwick_tree.range_query(3, 7))  # 输出：4

在上面的代码中，FenwickTree类的构造函数接受一个整数参数n，表示Fenwick Tree的大小。

• update方法用于更新Fenwick Tree中的某个元素
• query方法用于计算前i个元素的和
• range_query方法用于计算区间[i, j]的和

在使用Fenwick Tree的时候，可以根据实际需求进行适当的修改。

例如：

• 可以将update方法修改为将索引i位置的元素设置为delta，而不是增加delta。
• 高级应用还包括计算逆序对个数、计算逆序对的和等等。

总结

以上为个人经验，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持脚本之家。

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