C++实现二分法的一些细节(常用场景)

 更新时间:2021年07月08日 08:43:10   作者:ZhiboZhao  
二分法算法思想首先确定有根区间,将区间二等分,通过判断f(x)的符号,逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够小,便可求出满足精度要求的近似值

二分法是在一个排好序的序列(数组,链表等)中,不断收缩区间来进行目标值查找的一种算法,下面我们就来探究二分法使用的一些细节,以及常用的场景:

寻找一个数;寻找左侧边界;寻找右侧边界。

一、二分法的通用框架

int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
    int left=0, right=nums.size();
    while(left < right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(nums[mid] == target){
            // 条件一:中间的值与目标值相同
        }
        else if(nums[mid] > target){
            // 条件二:中间的值大于目标值
        }
        else if(nums[mid] < target){
            // 条件三:中间的值小于目标值
        }
    }
    return -1;	
}

首先,我们先来分析一下右边界 right 的初始值:

  • right=nums.size() 时,初始化的区间就变成了 \([0, right-1]\),即 \([0,right)\);
  • right=nums.size()-1 时,初始化的区间就变成了 \([0, right]\)。

在第一种情况下,当 nums[mid] > target 时,需要将区间向左收缩,即 right=mid。这个做法的逻辑是:既然 mid 位置处大于 target,而查找区间又是 “左闭右开”,因此当 right=mid 时,新的查找区间变成了 \([0, mid)\),这样才不会漏掉值。同理,当 nums[mid] < target 时,需要将区间向右收缩,即 left = mid+1,因为在 "左闭右开" 的区间下,新的查找区间变成 \([mid+1, right)\) 才不会漏掉值。当目标值不在序列中时,需要将 while 的条件写成 while(left < right) 而不是写成 while(left<=right),这样会引起数组越界。

第二种情况的分析类似,这里只给出结论:

  • nums[mid] > target 时,需要将区间向左收缩,即 right=mid-1
  • nums[mid] < target 时,需要将区间向右收缩,即 left = mid+1
  • 当目标值不在序列中时,需要将 while 的条件写成 while(left<=right)

二、二分法查找目标值

在序列中查找一个数,如果存在则返回数的索引,如果不存在则返回 -1 。为了方便分析,我们就只用第一种情况进行说明:

int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
    int left=0, right=nums.size();
    while(left < right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(nums[mid] == target){
           return mid;	// 查询到目标值,直接返回目标值的位置
        }
        else if(nums[mid] > target){
            right = mid; // 中间的值大于目标值,向左收缩区间
        }
        else if(nums[mid] < target){
            left = mid+1;// 中间的值小于目标值,向右收缩区间
        }
    }
    return -1;	// 当没有找到,直接返回-1
}

三、二分法查找目标值的左右边界

上述代码只能从序列中查找一个目标值并返回位置,当一个序列中目标值不止一个时,我们需要找到目标值最左边的位置和最右边的位置,这时候二分法需要进行改写:

// 查找目标值的左边界
int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
    int left=0, right=nums.size();
    while(left < right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(nums[mid] == target){
          right = mid;	// 查询到目标值不进行返回,而是收缩区间继续查找
        }
        else if(nums[mid] > target){
            right = mid; // 中间的值大于目标值,向左收缩区间
        }
        else if(nums[mid] < target){
            left = mid+1;// 中间的值小于目标值,向右收缩区间
        }
    }
    return left;	
}

根据上述代码,可以发现如果查找目标值的左边界,在满足 nums[mid] == target 时,需要缩小搜索区间的上界 right,在区间 \([left, mid]\) 中继续搜索,直到搜索完毕 left==right。此时 left=right=左边界

查找右边界的做法与左边界类似:

// 查找目标值的左边界
int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
    int left=0, right=nums.size();
    while(left < right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(nums[mid] == target){
          left = mid+1;	// 查询到目标值不进行返回,而是收缩区间继续查找
        }
        else if(nums[mid] > target){
            right = mid; // 中间的值大于目标值,向左收缩区间
        }
        else if(nums[mid] < target){
            left = mid+1;// 中间的值小于目标值,向右收缩区间
        }
    }
    return left-1;	
}

注意这里的判断条件改成了当 nums[mid] == target 时,left = mid+1。因为搜索的区间为 "左闭右开",所以在寻找左边界时可令 right=mid ,在寻找右边界时必须另 left=mid+1,不然程序会一直停在循环里面而无法跳出循环。

到此这篇关于C++实现二分法详解的文章就介绍到这了,更多相关C++实现二分法内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家!

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