千万不要被阶乘吓倒
更新时间：2013年05月23日 17:57:36 作者：
本篇文章是对阶乘进行了详细的分析介绍，需要的朋友参考下
阶乘（Factorial）是个很有意思的函数，但是不少人都比较怕它，我们来看看两个与阶乘相关的问题：
1、 给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有两个0。
2、求N！的二进制表示中最低位1的位置。
有些人碰到这样的题目会想：是不是要完整计算出N！的值？如果溢出怎么办？事实上，如果我们从"哪些数相乘能得到10"这个角度来考虑，问题就变得简单了。
首先考虑，如果N！= K×10^M，且K不能被10整除，那么N！末尾有M个0。再考虑对N！进行质因数分解，N！=（2^x）×（3^y）×（5^z）…，由于10 = 2×5，所以M只跟X和Z相关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是M = min（X, Z）。不难看出X大于等于Z，因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，所以把公式简化为M = Z。
根据上面的分析，只要计算出Z的值，就可以得到N！末尾0的个数。
【问题1的解法一】
要计算Z，最直接的方法，就是计算i（i =1, 2, …, N）的因式分解中5的指数，然后求和：
ret = 0;
for(i = 1; i <= N; i++)
{
j = i;
while(j % 5 ==0)
{
ret++; //统计N的阶乘中那些能够被5整除的因子的个数
j /= 5;
}
}
【问题1的解法二】
公式：Z = [N/5] +[N/5^2] +[N/5^3] + …（不用担心这会是一个无穷的运算，因为总存在一个K，使得5^K > N，[N/5^K]=0。）
公式中，[N/5]表示不大于N的数中5的倍数贡献一个5，[N/5^2]表示不大于N的数中5^2的倍数再贡献一个5，……代码如下：
ret = 0;
while(N)
{
ret += N / 5;
N /= 5;
}
问题2要求的是N！的二进制表示中最低位1的位置。给定一个整数N，求N！二进制表示的最低位1在第几位？例如：给定N = 3，N！= 6，那么N！的二进制表示（1 010）的最低位1在第二位。
为了得到更好的解法，首先要对题目进行一下转化。
首先来看一下一个二进制数除以2的计算过程和结果是怎样的。
把一个二进制数除以2，实际过程如下：
判断最后一个二进制位是否为0，若为0，则将此二进制数右移一位，即为商值（为什么）；反之，若为1，则说明这个二进制数是奇数，无法被2整除（这又是为什么）。
所以，这个问题实际上等同于求N！含有质因数2的个数+1。即答案等于N！含有质因数2的个数加1。 实际上N！都为偶数，因为质因数里面都有一个2，除了1以外，因为1的阶乘是1，是个奇数，其他数的阶乘都是偶数。。
【问题2的解法一】
由于N! 中含有质因数2的个数，等于 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …[1]，
根据上述分析，得到具体算法，如下所示：
/*
可以先求出N!中2的个数（因为每存在一个2，则在数的
最低位多1个0）。因此求1的最低位的位置即为N!中2的个数+1；
*/
int lowestOnePos(int n)
{
int ret = 0; //统计n!中含有质因数2的个数
while(n)
{
n >>= 1;
ret += n;
}
return ret+1;
}
【问题2的解法二】
N！含有质因数2的个数，还等于N减去N的二进制表示中1的数目。我们还可以通过这个规律来求解。
下面对这个规律进行举例说明，假设 N = 11011，那么N!中含有质因数2的个数为 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …
即： 1101 + 110 + 11 + 1
=（1000 + 100 + 1）
+（100 + 10）
+（10 + 1）
+ 1
=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1
= 1111 + 111 + 1
=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1）
= 11011-N二进制表示中1的个数
小结
任意一个长度为m的二进制数N可以表示为N = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 22 + … + b[m] * 2(m-1)，其中b [ i ]表示此二进制数第i位上的数字（1或0）。所以，若最低位b[1]为1，则说明N为奇数；反之为偶数，将其除以2，即等于将整个二进制数向低位移一位。
相关题目
给定整数n，判断它是否为2的方幂（解答提示：n>0&&（（n&（n-1））==0））。
--------------------------------------------------------------------------------
[1] 这个规律请读者自己证明（提示N/k，等于1, 2, 3, …, N中能被k整除的数的个数）。
1、 给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有两个0。
2、求N！的二进制表示中最低位1的位置。
有些人碰到这样的题目会想：是不是要完整计算出N！的值？如果溢出怎么办？事实上，如果我们从"哪些数相乘能得到10"这个角度来考虑，问题就变得简单了。
首先考虑，如果N！= K×10^M，且K不能被10整除，那么N！末尾有M个0。再考虑对N！进行质因数分解，N！=（2^x）×（3^y）×（5^z）…，由于10 = 2×5，所以M只跟X和Z相关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是M = min（X, Z）。不难看出X大于等于Z，因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，所以把公式简化为M = Z。
根据上面的分析，只要计算出Z的值，就可以得到N！末尾0的个数。
【问题1的解法一】
要计算Z，最直接的方法，就是计算i（i =1, 2, …, N）的因式分解中5的指数，然后求和：
复制代码 代码如下:
ret = 0;
for(i = 1; i <= N; i++)
{
j = i;
while(j % 5 ==0)
{
ret++; //统计N的阶乘中那些能够被5整除的因子的个数
j /= 5;
}
}
【问题1的解法二】
公式：Z = [N/5] +[N/5^2] +[N/5^3] + …（不用担心这会是一个无穷的运算，因为总存在一个K，使得5^K > N，[N/5^K]=0。）
公式中，[N/5]表示不大于N的数中5的倍数贡献一个5，[N/5^2]表示不大于N的数中5^2的倍数再贡献一个5，……代码如下：
复制代码 代码如下:
ret = 0;
while(N)
{
ret += N / 5;
N /= 5;
}
问题2要求的是N！的二进制表示中最低位1的位置。给定一个整数N，求N！二进制表示的最低位1在第几位？例如：给定N = 3，N！= 6，那么N！的二进制表示（1 010）的最低位1在第二位。
为了得到更好的解法，首先要对题目进行一下转化。
首先来看一下一个二进制数除以2的计算过程和结果是怎样的。
把一个二进制数除以2，实际过程如下：
判断最后一个二进制位是否为0，若为0，则将此二进制数右移一位，即为商值（为什么）；反之，若为1，则说明这个二进制数是奇数，无法被2整除（这又是为什么）。
所以，这个问题实际上等同于求N！含有质因数2的个数+1。即答案等于N！含有质因数2的个数加1。 实际上N！都为偶数，因为质因数里面都有一个2，除了1以外，因为1的阶乘是1，是个奇数，其他数的阶乘都是偶数。。
【问题2的解法一】
由于N! 中含有质因数2的个数，等于 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …[1]，
根据上述分析，得到具体算法，如下所示：
复制代码 代码如下:
/*
可以先求出N!中2的个数（因为每存在一个2，则在数的
最低位多1个0）。因此求1的最低位的位置即为N!中2的个数+1；
*/
int lowestOnePos(int n)
{
int ret = 0; //统计n!中含有质因数2的个数
while(n)
{
n >>= 1;
ret += n;
}
return ret+1;
}
【问题2的解法二】
N！含有质因数2的个数，还等于N减去N的二进制表示中1的数目。我们还可以通过这个规律来求解。
下面对这个规律进行举例说明，假设 N = 11011，那么N!中含有质因数2的个数为 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …
复制代码 代码如下:
即： 1101 + 110 + 11 + 1
=（1000 + 100 + 1）
+（100 + 10）
+（10 + 1）
+ 1
=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1
= 1111 + 111 + 1
=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1）
= 11011-N二进制表示中1的个数
小结
任意一个长度为m的二进制数N可以表示为N = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 22 + … + b[m] * 2(m-1)，其中b [ i ]表示此二进制数第i位上的数字（1或0）。所以，若最低位b[1]为1，则说明N为奇数；反之为偶数，将其除以2，即等于将整个二进制数向低位移一位。
相关题目
给定整数n，判断它是否为2的方幂（解答提示：n>0&&（（n&（n-1））==0））。
--------------------------------------------------------------------------------
[1] 这个规律请读者自己证明（提示N/k，等于1, 2, 3, …, N中能被k整除的数的个数）。
相关文章
这篇文章主要介绍了C语言中如何通过指针参数返回值问题，具有很好的参考价值，希望对大家有所帮助。如有错误或未考虑完全的地方，望不吝赐教2023-02-02
这篇文章主要为大家详细介绍了如何利用Matlab实现贪吃蛇小游戏，文中示例代码介绍的非常详细，具有一定的参考价值，感兴趣的小伙伴们可以参考一下2022-03-03
这篇文章主要介绍了C语言基本排序算法之插入排序与直接选择排序实现方法,结合具体实例形式分析了插入排序与直接选择排序的定义、使用方法及相关注意事项,需要的朋友可以参考下2017-09-09
这篇文章主要介绍了将 C++ 类型属性暴露给 QML, QML 是一种基于 JavaScript 的声明式语言。在 Qt5中，QML有了长足进步，并且同 C++ 并列成为 Qt 的首选编程语言下面一起进入文章学习 QML的条件下也看看如何将将 C++ 类型属性暴露给 QML,需要的朋友可以参考一下2021-12-12
本文主要介绍了Qt中const QString转换 char *可能的坑，文中通过示例代码介绍的非常详细，对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值，需要的朋友们下面随着小编来一起学习学习吧2023-07-07
这篇文章主要为大家介绍了C++核心编程中内存分区模型，C++程序在执行时，将内存大方向分为四个区域，代码区，全局区，栈区，堆区，文章通过代码示例介绍的非常详细，感兴趣的同学可以参考阅读下2023-07-07
这篇文章主要介绍了C++私有继承，在私有继承当中，基类的公有成员和保护成员都会成为派生类的私有成员。这意味着基类的方法都会被private关键字描述，我们可以在派生类中使用它，但类对象无法直接调用，下面来看看详细内容吧2022-01-01
下面小编就为大家带来一篇对C++默认构造函数的一点重要说明。小编觉得挺不错的，现在就分享给大家，也给大家做个参考。一起跟随小编过来看看吧2016-12-12
这篇文章主要介绍了c语言实现基数排序解析及代码示例，具有一定借鉴价值，需要的朋友可以参考下。2017-12-12
深入了解C++优先队列(priority_queue)的使用方法
在计算机科学中，优先队列是一种抽象数据类型，它与队列相似，但是每个元素都有一个相关的优先级。C++中的优先队列是一个容器适配器(container adapter)，它提供了一种在元素之间维护优先级的方法。本文带你深入了解C++优先队列的使用方法，需要的可以参考下2023-05-05
最新评论