利用简洁的C语言代码解决跳台阶问题与约瑟夫环问题

跳台阶问题

题目：

一个台阶总共有 n 级，如果一次可以跳 1 级，也可以跳 2 级。

求总共有多少总跳法，并分析算法的时间复杂度。

分析：

也是比较基础的题目，通过递归可以方便的求解

代码实现如下（GCC编译通过）：

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
 
int function(int n);
 
int main(void)
{
  int tmp;
   
  tmp = function(5);
  printf("%3d\n",tmp);
 
  return 0;
}
 
int function(int n)
{
  if(n == 1)
    return 1;
  else if(n == 2)
    return 2;
  else  
    return function(n-1) + function(n-2);
}

约瑟夫环问题
题目：

n个数字（0,1,…,n-1）形成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈中删除第m个数字（第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数字）。当一个数字删除后，从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求处在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

（其实说了这么多就是约瑟夫环问题）

分析：

以前学习链表的时候也见过约瑟夫环问题，当时是拿循环链表模拟整个过程来解决的，今天在网上看到一种分析。记录下来：

    题目要求最后剩下的一个数(用last表示)，也就是这个数是第几个，在（0,1,…,n-1）的位置是多少。明确了题目中的信息，所以我们要对这个数进行归纳。假设知道这个数在剩下的k个数中的位置，怎么来求得它在剩余K+1个数中的位置，这样一步一步推导出它在有n个数中的位置，即为所求。为什么能这样归纳，因为这个最后剩下的数在所有删除过程中有幸存活下来，只不过每次删除了一个数，它的位置就变了，知道最后，它的位置为0(只剩一个数了)。

现在来分析删除第一个数后，last这个数的位置已之前有什么样的关系。在这n个数字中，第一个被删除的数字是(m-1)%n，为简单起见记为k。那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，并且下一个开始计数的数字是k+1。相当于在剩下的序列中，k+1排到最前面，从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。

k+1    ->    0
k+2    ->    1
…
n-1    ->    n-k-2
0       ->    n-k-1
…
k-1   ->   n-2

现在我们知道了有n-1个数时last的位置，记为f(n-1,m)，那么如何来求得f(n,m)关于f(n-1,m)之间的关系？用X,Y来表示，如下：

Y              X

k+1    ->    0
k+2    ->    1
…
n-1    ->    n-k-2
0       ->     n-k-1
…
k-1    ->    n-2

y=( x+k+1) %n

k = (m-1)%n

所以y=(x+m)%n，最终关系如下：

                0                              n=1
f(n,m)={
                [f(n-1,m)+m]%n     n>1

根据关系可以很方便的得到代码

代码实现如下：

int LastRemaining(int n, int m)
{
  if(n < 1 || m < 1)
    return -1;
 
  int last = 0;
  for (int i = 2; i <= n; i ++) 
    last = (last + m) % i;
 
  return last;
}

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