C++最优二叉树哈夫曼树算法解析

定义

哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。

所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。

树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和，记为WPL=（W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln），N个权值Wi（i=1,2,...n）构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li（i=1,2,...n）。

可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。

哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

实例引入

现在有这样一个经典问题：果子合并。

现在得到很多果子，需要把这些果子合并成一堆。每一次合并，可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过 n−1 次合并之后，就只剩下一堆了。在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

假定每个果子重量都为 1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 3 种果子，数目依次为 1，2，9。可以先将 1、2 堆合并，新堆数目为 3，耗费体力为 3。

接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 12，耗费体力为 12。所以总共耗费体力=3+12=15。可以证明 15 为最小的体力耗费值。

我们把这几个果子看成树的叶子

 然后通过逐次合并其中两个叶子（果子），使根节点的权值最小，根据上面的分析先合并1，2得到3，之后合并3，9得到12。

其中我们要计算的便是产生的新节点的权值，把这先权值相加，即是最后要求的体力值。

进一步分析可以发现，假设初始状态下我们有四个点，是四个点之间的最优解问题，当我们合并其中两个点之后就变成了三个点的最优解问题，以此类推；

而且如果保证每次选的两个数都是最小的（最优的），那么接下来都是最优解的情况了。

由于数据输入是并不是按照从小到大排列，故可以使用小根堆来做。 

 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
	while (n--)
	{
		int x;
		scanf("%d", &x);
		heap.push(x);
	}
	int res = 0;
	while (heap.size() > 1)
	{
		int a = heap.top();
		heap.pop();
		int b = heap.top();
		heap.pop();
		res += a + b;
		heap.push(a + b);
	}
	printf("%d\n", res);
	return 0;
}

到此这篇关于C++最优二叉树哈夫曼树算法解析的文章就介绍到这了,更多相关C++哈夫曼树内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家！

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