C#实现并查集的使用示例

一、场景

有时候我们会遇到这样的场景，比如:M={1,4,6,8},N={2,4,5,7}，我的需求就是判断{1,2}是否属于同一个集合，当然实现方法有很多，一般情况下，普通青年会做出 O(MN)的复杂度，那么有没有更轻量级的复杂度呢？并查集就是用来解决这个问题的。

二、操作

从名字可以出来，并查集其实只有两种操作，并(Union)和查(Find)，并查集是一种算法，所以我们要给它选择一个好的数据结构，通常我们用树来作为它的底层实现。

2.1、节点定义

 #region 树节点
 /// <summary>
 /// 树节点
 /// </summary>
 public class Node
 {
     /// <summary>
     /// 父节点
     /// </summary>
     public char parent;

     /// <summary>
     /// 节点的秩
     /// </summary>
     public int rank;
 }
 #endregion

2.2、Union 操作

<1> 原始方案首先我们会对集合的所有元素进行打散，最后每个元素都是一个独根的树，然后我们 Union 其中某两个元素，让他们成为一个集合，最坏情况下我们进行 M 次的 Union 时会存在这样的一个链表的场景。

从图中我们可以看到，Union 时出现了最坏的情况，而且这种情况还是比较容易出现的，最终导致在 Find 的时候就相当复杂了，为 O(N)。

<2> 按秩合并我们发现出现这种情况的原因在于我们 Union 时都是将合并后的大树作为小树的孩子节点存在，那么我们在 Union 时能不能判断一下，将小树作为大树的孩子节点存在，最终也就降低了新树的深度，比如图中的 Union(D,{E,F})的时候可以做出如下修改。

可以看出，我们有效的降低了树的深度，在 N 个元素的集合中，构建树的深度不会超过 LogN 层。M 次操作的复杂度为 O(MlogN)，从代码上来说，我们用 Rank 来统计树的秩，可以理解为树的高度，独根树时 Rank=0，当两棵树的 Rank 相同时，可以随意挑选合并，在新根中的 Rank++ 就可以了。

 #region 合并两个不相交集合
 /// <summary>
 /// 合并两个不相交集合
 /// </summary>
 /// <param name="root1"></param>
 /// <param name="root2"></param>
 /// <returns></returns>
 public void Union(char root1, char root2)
 {
     char x1 = Find(root1);
     char y1 = Find(root2);

     //如果根节点相同则说明是同一个集合
     if (x1 == y1)
         return;

     //说明左集合的深度 < 右集合
     if (dic[x1].rank < dic[y1].rank)
     {
         //将左集合指向右集合
         dic[x1].parent = y1;
     }
     else
     {
         //如果 秩 相等，则将 y1 并入到 x1 中，并将x1++
         if (dic[x1].rank == dic[y1].rank)
             dic[x1].rank++;

         dic[y1].parent = x1;
     }
 }
 #endregion

2.3、Find 操作

我们学算法，都希望能把一个问题优化到不能优化的地步，针对 logN 的级别，我们还能优化吗？当然可以。

<1> 路径压缩在 Union 和 Find 这两种操作中，显然我们在 Union 上面已经做到了极致，下面我们在 Find 上面考虑一下，是不是可以在 Find 上运用伸展树的思想，这种伸展思想就是压缩路径。

从图中我们可以看出，当我 Find(F)的时候，找到“F”后，我们开始一直回溯，在回溯的过程中给，把该节点的父亲指向根节点。最终我们会形成一个压缩后的树，当我们再次 Find(F)的时候，只要 O(1)的时间就可以获取，这里有个注意的地方就是 Rank，当我们在路径压缩时，最后树的高度可能会降低，可能你会意识到原先的 Rank 就需要修改了，所以我要说的就是，当路径压缩时，Rank 保存的就是树高度的上界，而不仅仅是明确的树高度，可以理解成"伸缩椅"伸时候的长度。

 #region  查找x所属的集合
 /// <summary>
 /// 查找x所属的集合
 /// </summary>
 /// <param name="x"></param>
 /// <returns></returns>
 public char Find(char x)
 {
     //如果相等，则说明已经到根节点了，返回根节点元素
     if (dic[x].parent == x)
         return x;

     //路径压缩(回溯的时候赋值，最终的值就是上面返回的"x"，也就是一条路径上全部被修改了)
     return dic[x].parent = Find(dic[x].parent);
 }
 #endregion

我们注意到，在路径压缩后，我们将 LogN 的复杂度降低到 Alpha(N)，Alpha(N)可以理解成一个比 hash 函数还有小的常量，这就是算法的魅力。

到此这篇关于C#实现并查集的使用示例的文章就介绍到这了,更多相关C# 并查集内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家！ 

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