在C++中实现高效的数组原地轮转的方法总结

一、问题： 数组轮转

给定一个长度为 n 的整数数组 nums，请将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。

示例：

输入：nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], k = 3
输出：[5, 6, 7, 1, 2, 3, 4]

解释：
向右轮转 1 步：[7, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
向右轮转 2 步：[6, 7, 1, 2, 3, 4, 5]
向右轮转 3 步：[5, 6, 7, 1, 2, 3, 4]

要求：

• 实现数组的右轮转功能。
• 尽可能探索多种解决方案。 至少思考三种不同的算法思路。
• 挑战： 能否设计一个 空间复杂度为 O(1) 的原地算法 来解决此问题？ 尝试优化解决方案，使其具有尽可能高的效率。
• 分析提出的每种解决方案的时间复杂度和空间复杂度。

提示：

• 考虑 k 大于数组长度 n 的情况。
• 仔细思考数组轮转的本质，尝试从不同的角度分解问题。

二、问题分析

数组轮转的本质是将数组中的元素整体向右移动 k 个位置，超出数组边界的元素会“循环”回到数组的开头。

关键点：

• k 的有效性： 当 k 大于等于数组长度 n 时，实际轮转的步数是 k % n。 例如，如果 n = 7，k = 9，那么实际轮转 2 步。 因此，需要对 k 进行取模运算。
• 实现空间复杂度为 O(1) 的原地算法是难点。 这意味着不能使用额外的数组来存储临时结果。
• 效率： 如何尽可能减少元素移动的次数，提高算法效率。

思路 1： 暴力法（重复移动）。

• 将数组的最后一个元素移动到第一个位置，其他元素依次向右移动。
• 重复这个过程 k 次。
• 优点： 实现简单，容易理解。
• 缺点： 时间复杂度高，效率低，为 O(n * k)。 当 k 接近 n 时，效率非常差。

思路 2： 使用额外数组。

• 创建一个新的数组 new_nums，长度与原数组相同。
• 将原数组 nums 中的每个元素 nums[i] 放到新数组的 new_nums[(i + k) % n] 位置上。
• 将新数组 new_nums 复制回原数组 nums。
• 优点： 时间复杂度较低，为 O(n)。
• 缺点： 需要额外的 O(n) 空间，不满足原地算法的要求。

思路 3： 反转数组。

• 将整个数组反转。
• 将数组的前 k % n 个元素反转。
• 将数组的后 n - (k % n) 个元素反转。
• 原理：
  • 例如 nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], k = 3
  • 反转整个数组：[7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
  • 反转前 k 个元素：[5, 6, 7, 4, 3, 2, 1]
  • 反转后 n-k 个元素：[5, 6, 7, 1, 2, 3, 4]
• 优点： 时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)，满足原地算法的要求。
• 缺点： 需要对数组进行三次反转操作，理解起来稍微复杂一些。

思路 4： 循环替换。

• 从位置 0 开始，将该位置的元素移动到 (0 + k) % n 位置，再将该位置的元素移动到 (0 + 2k) % n 位置，以此类推。
• 为了避免重复循环，需要记录已经访问过的位置，或者使用一个计数器来控制循环的次数。
• 优点： 空间复杂度为 O(1)。
• 缺点： 实现相对复杂，需要仔细处理循环的边界条件。时间复杂度O(n)。

思路 5： 使用GCD（最大公约数）来优化循环替换。

• 如果 n 和 k 的最大公约数是 1，那么只需要一个循环就能完成所有的替换。 但如果最大公约数不是1，则需要多个循环。

• 找到 n 和 k 的最大公约数 gcd。 循环从 0 到 gcd - 1。 在每个循环中，执行循环替换。

• 优点： 优化了循环替换算法

• 缺点： 需要计算最大公约数，复杂度增加。

复杂度分析：

三、算法实现

3.1、使用额外数组（效果较差）

• 创建一个新的数组 new_nums，长度与原数组相同。
• 将原数组 nums 中的后 k % num.size()个元素 nums[i] 放到新数组的开头位置上，其他元素依次放在末尾。
• 将新数组 new_nums 复制回原数组 nums。

class Solution {
public:
    void rotate(vector<int>& nums, int k) {
        unsigned n = k % nums.size();
        if (n == 0)
            return;
        vector<int> ret(nums.end() - n, nums.end());
        
        for (unsigned i = 0; i < (nums.size() - n); ++i)
            ret.emplace_back(nums[i]);
        
        std::swap(ret, nums);
    }
};

时间复杂度：

• 时间复杂度较低，为 O(n)。
• 需要额外的 O(n) 空间。

3.2、反转数组3次（实现简单）

这种方法实现相对容易，而且容易理解。

• 将整个数组反转。
• 将数组的前 k % n 个元素反转。
• 将数组的后 n - (k % n) 个元素反转。

原理：

• 例如 nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], k = 3
• 反转整个数组：[7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
• 反转前 k 个元素：[5, 6, 7, 4, 3, 2, 1]
• 反转后 n-k 个元素：[5, 6, 7, 1, 2, 3, 4]

代码实现：

class Solution {
public:
    void rotate(vector<int>& nums, int k) {
        unsigned n = k % nums.size();
        if (n == 0)
            return;
        unsigned size = nums.size();
        for (unsigned i = 0; i < size / 2; ++i) 
            std::swap(nums[i], nums[size - i - 1]);
        for (unsigned i = 0; i < n / 2; ++i) 
            std::swap(nums[i], nums[n - i -1]);
        for (unsigned i = 0; i < (size - n) / 2; ++i) 
            std::swap(nums[i + n], nums[size - i - 1]);
    }
};

3.3、循环替换（较为复杂）

从位置 0 开始，将该位置的元素移动到 (0 + k) % n 位置，再将该位置的元素移动到 (0 + 2k) % n 位置，以此类推。

为了避免重复循环，需要记录已经访问过的位置，或者使用一个计数器来控制循环的次数。

可以使用GCD（最大公约数）来优化循环替换：

• 如果 n 和 k 的最大公约数是 1，那么只需要一个循环就能完成所有的替换。 但如果最大公约数不是1，则需要多个循环。

• 找到 n 和 k 的最大公约数 gcd。 循环从 0 到 gcd - 1。 在每个循环中，执行循环替换。

class Solution {
public:
    void rotate(vector<int>& nums, int k) {
        unsigned n = nums.size();
        int gcd = std::gcd(n, k % n);
        for (int i = 0; i < gcd; ++i) {
            int cur = i;
            int pre = nums[cur];
            do {
                int next = (cur + k) % n;
                std::swap(nums[next], pre);
                cur = next;
            } while (cur != i);
        }
    }
};

四、总结

C++中数组轮转问题的五种解决方案：暴力法、额外数组、反转数组、循环替换以及GCD优化循环替换。分析了每种算法的时间和空间复杂度，并特别关注了原地算法的实现。通过对比不同方案，展示了如何在时间和空间之间权衡，最终实现高效且节省空间的数组轮转。

其中，反转数组和GCD优化循环替换是在实际项目中推荐使用的。

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