C++ 的Eigen 库全解析

# Ubuntu/Debian
sudo apt install libeigen3-dev
# macOS (Homebrew)
brew install eigen

git submodule add https://gitlab.com/libeigen/eigen.git
git submodule update --init --recursive

g++ -I /path/to/eigen/ my_program.cpp -o my_program

// 固定尺寸：编译期已知，分配在栈上，速度更快
Eigen::Matrix3f A;
Eigen::Vector4d v;

// 动态尺寸：运行时确定，分配在堆上，更灵活
Eigen::MatrixXd M(100, 100);
Eigen::VectorXd u(50);

// 自定义任意尺寸
Eigen::Matrix<float, 20, 75> M2;

Eigen::Matrix3d A;
A << 1, 2, 3,
     4, 5, 6,
     7, 8, 9;

// 零矩阵
Eigen::MatrixXd Z = Eigen::MatrixXd::Zero(3, 3);

// 全1矩阵
Eigen::MatrixXd O = Eigen::MatrixXd::Ones(3, 3);

// 单位矩阵
Eigen::Matrix3d I = Eigen::Matrix3d::Identity();

// 随机矩阵（元素在 [-1, 1] 之间）
Eigen::MatrixXd R = Eigen::MatrixXd::Random(3, 3);

// 常数矩阵
Eigen::MatrixXd C = Eigen::MatrixXd::Constant(3, 3, 6.28);

Eigen::MatrixXd m(2, 2);
m(0, 0) = 3.0;   // 用圆括号，注意是0-indexed
m(1, 0) = 2.5;
double val = m(0, 1);

// 向量可以用单下标
Eigen::VectorXd v(3);
v(0) = 1.0;
v(1) = 2.0;
v(2) = 3.0;

Eigen::Matrix2d a, b;
a << 1, 2, 3, 4;
b << 2, 3, 1, 4;

auto c = a + b;      // 矩阵加法
auto d = a - b;      // 矩阵减法
a += b;              // 原地加法

auto e = a * 2.5;    // 标量乘法
auto f = 0.1 * b;    // 标量乘法（交换律）
a *= 2;              // 原地标量乘法

Eigen::MatrixXd A(3, 3), B(3, 3);
// ... 初始化 ...

auto C = A * B;      // 矩阵乘法（不是逐元素！）
auto v_out = A * v;  // 矩阵-向量乘法

Eigen::MatrixXd A(3, 3);
auto AT = A.transpose();         // 转置
auto AC = A.conjugate();         // 共轭（实数矩阵等同于自身）
auto AH = A.adjoint();           // 共轭转置（Hermitian）

// 注意！不能原地转置：A = A.transpose() 是错误的！
A.transposeInPlace();            // 正确的原地转置方式

Eigen::Vector3d u(1, 2, 3), v(4, 5, 6);

double dot_product = u.dot(v);       // 点积：标量
Eigen::Vector3d cross = u.cross(v);  // 叉积：仅限3维向量
double norm = u.norm();              // L2范数
double sq_norm = u.squaredNorm();    // 范数的平方

Eigen::MatrixXd M(4, 4);
// ... 初始化 ...

// 提取子矩阵：block(起始行, 起始列, 行数, 列数)
auto sub = M.block(1, 1, 2, 2);   // 从(1,1)开始的2×2子矩阵

// 提取行/列
auto row1 = M.row(0);             // 第0行
auto col2 = M.col(2);             // 第2列

// 提取角落
auto top_left  = M.topLeftCorner(2, 2);
auto bot_right = M.bottomRightCorner(2, 2);

// 向量的头尾
Eigen::VectorXd v(6);
auto head = v.head(3);    // 前3个元素
auto tail = v.tail(3);    // 后3个元素
auto seg  = v.segment(1, 4); // 从index 1开始的4个元素

#include <Eigen/Dense>

Eigen::Matrix3d A;
Eigen::Vector3d b;
A << 2, 1, -1,
    -3, -1, 2,
    -2, 1, 2;
b << 8, -11, -3;

// 方法1：LU 分解（通用方阵）
Eigen::Vector3d x1 = A.lu().solve(b);

// 方法2：Cholesky（对称正定矩阵，最快）
// Eigen::Vector3d x2 = A.llt().solve(b);

// 方法3：QR 分解（最小二乘问题）
Eigen::Vector3d x3 = A.colPivHouseholderQr().solve(b);

// 方法4：直接求逆（小矩阵可用，大矩阵不推荐）
Eigen::Matrix3d A_inv = A.inverse();

// 行列式
double det = A.determinant();

Eigen::ArrayXXd a(3, 3), b(3, 3);
// ... 初始化 ...

auto c = a * b;          // 逐元素乘法（不是矩阵乘法！）
auto d = a / b;          // 逐元素除法
auto e = a.sqrt();       // 逐元素开方
auto f = a.exp();        // 逐元素指数
auto g = a.pow(2.0);     // 逐元素幂次
auto h = (a > 0.5);      // 逐元素比较，返回 bool Array

// Matrix 和 Array 之间的转换
Eigen::MatrixXd M = a.matrix();   // Array → Matrix
Eigen::ArrayXXd A2 = M.array();   // Matrix → Array

Eigen::MatrixXd result = (W * x).array().max(0.0).matrix();

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

int main() {
    // 1. 创建矩阵
    Eigen::MatrixXd A = Eigen::MatrixXd::Random(3, 3);
    A = A.transpose() * A;  // 构造对称正定矩阵

    Eigen::VectorXd b = Eigen::VectorXd::Random(3);

    std::cout << "矩阵 A:\n" << A << "\n\n";
    std::cout << "向量 b:\n" << b << "\n\n";

    // 2. 求解线性方程组 Ax = b
    Eigen::VectorXd x = A.llt().solve(b);
    std::cout << "解 x (Cholesky):\n" << x << "\n\n";

    // 3. 验证：计算残差
    double residual = (A * x - b).norm();
    std::cout << "残差 ||Ax - b|| = " << residual << "\n\n";

    // 4. 特征值分解
    Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::MatrixXd> solver(A);
    std::cout << "特征值:\n" << solver.eigenvalues() << "\n\n";
    std::cout << "特征向量:\n" << solver.eigenvectors() << "\n";

    return 0;
}

g++ -O2 -I /path/to/eigen/ main.cpp -o demo && ./demo