C语言如何利用辗转相除法求最大公约数

C语言利用辗转相除法求最大公约数

1. 首先要明确几个概念

最大公约数： 也叫最大公因数，是指俩个或多个整数公有约数中最大的一个。

例如，18 和 24的最大公约数是 6

最小公倍数：除0以外最小的一个公倍数就叫作这几个整数的最小公倍数

例如，18 和 24的最小公倍数是 72

2. 辗转相除法

用除数和余数反复做除法运算，当余数为0时，取当前算式除数为最大公约数

例如：求 1997 和 615 俩个正整数的最大公约数

因为：

1997 % 615 = 152
615 % 152 = 7
152 % 7 = 5
7 % 5 = 2
5 % 2 = 1
2 % 1 = 0

所以，1997 和 615 的最大公约数为 1

3. C语言代码实现

#include <stdio.h>
int main()
{
    int data1 = 0, data2 = 0;
    int m = 0;     //该变量是中间变量，不能放在while函数的内部
    scanf_s("%d %d", &data1, &data2);
    while ((m = data1 % data2) != 0)
    {
        data1 = data2;
        data2 = m;
    }
    printf("最大公约数为%d\n", data2);
    return 0;
}

注意点：

对于求模运算符%，若是分数形式求余数的话，如果分子小于分母，则分子就是余数。

例如：2 % 5 = 0

而当不是分数形式求余数的话，即例如：18 % 24 时，可将 % 左边的内容看成是分子，而 % 右边的内容看成是分母。所以 18 % 24 = 18

这里有一个误区，不能将18 与 24 在都约去 6 的情况下去求它们的余数，所以 18 % 24（3 % 8）= 3 是错误的

而不管是 18 % 24 ，还是24 % 18 。它们的余数均不会成为0

如果知道了俩个数的最大公约数，那么其最小公倍数可以根据公式来确定

即最小公倍数 = 俩个数的乘积 / 最大公约数

C语言求最大公约数常见思路

辗转相除法

辗转相除法又称为欧几里得算法，用于求两数的最大公约数gcd(全称为greatest common divisor)

注意两数必须为非负整数a,b。用法为：用两数中较大的数（a1）除以较小的数（b1），得到余数（r1），再用b1除以r1得到余数r2，之后再用r1除以r2，反复进行，直到最后余数是0为止。最大公约数就是最后式子中的除数。

请看如下举例：

 若用函数gcd(a,b)来表示，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，我们可以这样理解:3887 2231和2231 1656的最大公约数是相等的，依次类推、重复操作。

用表达式可以这样来表示:gcd(3887,2231)=gcd(2231,1656)=gcd(1656,575)，直到最后到底gcd(a,b)=gcd(c,0)，即gcd(3887,2231)=gcd(23,0)。

这里的c为a和b的最大公约数。

下面来看辗转相除法的图像说明

下面看算法实现:

算法实现一

代码中的a就相当于上述gcd(a,b)=gcd(c,0)中的c。当然还有利用此原理的其他写法，不过是大同小异，这里就不一一列举了。这里的if语句其实是多余的，因为通过辗转相除完全可以实现两数之间的互换。

算法实现二（函数递归法）

 对辗转相除足够熟悉后，可以采用递归的方式，如算法实现三

算法实现三(递归思想)

总之一句话：除数除以余数，直到余数为0为止。

更相减损之术

更相减损之术出自我国《九章算术》，原文是这样的：

可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

算法过程：大数减小数，得到的差用来替换之前的大数，如此反复，直到得出来的差与上次的减数相等。此时的这个差就是两者的最大公约数。

以 36 24为例(如下图)：

 可以这样表示：gcd(36,24)=gcd(24,12),即36 24和24 12的最大公约数是相等的。

下面来看代码实现

 总归一句话：用大数减去小数，知道减数和差相等。

最后，当处理较大的数时，辗转相除法虽然在时间上有明显优势。但是，即使是这样，辗转相除法也同样存在缺陷，其在处理较大的素因数(也叫质因数，就是说一个数是另一个数的因数，本身又是质数，就叫做另一个数的素因数)时，缺陷就会显现出来。

当然，实现求取最大公约数还有很多其他方法，这里只进行了常见思路的讲解。

总结

以上为个人经验，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持脚本之家。

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