C++中的最小生成树算法超详细教程

更新时间：2023年08月23日 09:56:59 作者：吃代码的喵酱-i

这篇文章主要介绍了C++中的最小生成树算法超详细教程,最小生成树的最著名的算法有两个, 一个是Prim算法, 另一个当然就是Kruskal算法, 接下来, 我将尽我所能的介绍这两个算法, 也算是对自己学习的一个回顾吧,需要的朋友可以参考下

前言

最小生成树的最著名的算法有两个, 一个是 Prim 算法, 另一个当然就是 Kruskal 算法, 接下来, 我将尽我所能的介绍这两个算法, 也算是对自己学习的一个回顾吧

老规矩, 模板题如下

题目背景

Farmer John 被选为他们镇的镇长！他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网，并连接到所有的农场。当然，他需要你的帮助。

题目描述

FJ 已经给他的农场安排了一条高速的网络线路，他想把这条线路共享给其他农场。为了用最小的消费，他想铺设最短的光纤去连接所有的农场。

你将得到一份各农场之间连接费用的列表，你必须找出能连接所有农场并所用光纤最短的方案。每两个农场间的距离不会超过105。

输入格式

第一行农场的个数N（3 ≤ N ≤ 100)

接下来是一个N×N的矩阵，表示每个农场之间的距离。理论上，他们是N行，每行由N个用空格分隔的数组成，实际上，由于每行8080个字符的限制，因此，某些行会紧接着另一些行。当然，对角线将会是00，因为不会有线路从第i个农场到它本身。

输出格式

只有一个输出，其中包含连接到每个农场的光纤的最小长度。

输入输出样例

输入 #1

4
0 4 9 21
4 0 8 17
9 8 0 16
21 17 16 0

输出 #1

28

Kruskal 算法

首先, 介绍我更喜欢的, 也是相对更容易敲代码的 Kruskal 算法

按照离散数学的定义

> 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。

> 具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

故我们可以提炼出算法的流程如下

将边升序排序
判断是否能插入此边,插入后做:
- inc(ans,路径长度)
- 合并连通分支

1.对于排序, 可以借助于库函数sort

2.对于判断是否可以插入的步骤, 我们的想法是借助于并查集, 如果这条边的两个祖先相同, 那么插入这条边显然会构成环, 故跳过

3.算法结束的标志是加入的边的数目为n - 1

算法已经介绍清楚了, 那么下面我们就来考虑一下存储边的数据结构, 我们选择了如下所示的结构体数组

struct Edge {
    int u; //起点
    int v; //终点
    int w; //权值
} e[100010];

对于并查集的处理就简单的提一下

1. 初始化

void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }
}

2.寻找祖先的函数, 路径压缩算法

int find (int x) {
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}

3.合并操作, 将两个属于不同集合的顶点合并到同一个集合, 即入赘操作

void union_(int x, int y) {
    int fx = find(x);
    int fy = find(y);
    fa[fx] = fy;
}

感觉也没多少东西, 那就直接贴完整AC代码吧

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100 + 10;
int n, cnt, fa[MAXN], sum, ans;
void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }
}
int find (int x) {
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}
void union_(int x, int y) {
    int fx = find(x);
    int fy = find(y);
    fa[fx] = fy;
}
struct Edge {
    int u;
    int v;
    int w;
} e[100010];
bool cmp (Edge a, Edge b) {
    return a.w < b.w;
}
//这一题应该采用并查集来判断是否会构成一个环, 然后用一个结构体数组来存储边的信息
int main() {
    cin >> n;
    init();
    int h;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> h;
            if (j > i) {
                //存一半就可以了
                e[++cnt].u = i;
                e[cnt].v = j;
                e[cnt].w = h;
            }
        }
    }
    sort(e + 1, e + 1 + cnt, cmp);
    for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
        int u = e[i].u;
        int v = e[i].v;
        if (find(u) != find(v)) {
            union_(u, v);
            sum++;
            ans += e[i].w;
            if (sum == n - 1) {
                break;
            }
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

Prime 算法

Prim 算法也是一个贪心算法, 它和 Kruskal 算法的区别在于 Prim 算法是每次从一个点出发选择当前点的不构成环的最小的边, 而 Kruskal 算法是从全局的角度, 从所有的边中选择不构成环的最小的边, 所以 Prim 算法相对而言复杂一些很显然, 每次都要从当前的顶点选择最优的边, 那么这就是一个很耗时的操作, 于是我们可以对这一步进行堆优化(其实就是使用优先队列 ) 这个算法的数据结构相对复杂一些, 接下来我来介绍一下

bool vis[MAXN]; //用来判断这个顶点是否访问过
struct Edge {
    int u; //起点
    int v; //终点
    int w; //权值
    bool operator <(const struct Edge& n) const {
        return w > n.w;
    } //重载比较运算符, 用于后面的优先队列
};
vector <Edge> g[MAXN]; //向量数组, 用于存放每一个顶点所连接的边的信息
priority_queue <Edge> edge; //优先队列不解释

1.读取数据

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        int w;
        cin >> w;
        if (w == 0) continue;
        g[i].push_back(Edge{i, j, w});
    }
}

2.以1为起始点, 将其相连边入队

vis[1] = true;
for (int i = 0; i < g[1].size(); i++) {
    edge.push(g[1][i]);
}

3.执行 Prim算法, 直到边数为n - 1为止

 while (cnt < n - 1){
    int w = edge.top().w;
    int v = edge.top().v;
    edge.pop();
    if (vis[v]) {
        //已经访问过了
        continue;
    }
    vis[v] = true;
    ans += w; //ans是结果
    cnt++; //cnt是边的计数器
    for (int i = 0; i < g[v].size(); i++) {
        if (!vis[g[v][i].v]) {
            edge.push(g[v][i]);
        }
    }
}

到此这篇关于C++中的最小生成树算法超详细教程的文章就介绍到这了,更多相关C++中的最小生成树算法内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家！

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